ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 9 TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019

 Câu 1. (4,0 đ)

  1. Rút gọn biểu thức
    P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{x - 5}}{{x - \sqrt x - 2}}} \right) với , x > 0 , x khác 4
  2. Cho  a = \sqrt[3]{{7 + \sqrt {50} }}\;,\;b = \sqrt[3]{{7 - \sqrt {50} }} Không dùng máy tính, chứng minh rằng các biểu thức M  = a + b và  N = {a^7} + {b^7}\; có giá trị đều là số chẵn.

Câu 2. (4,0 đ)

  1. Giả sử ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} + 2kx + 4 = 0$ (k là tham số). Tìm tất cả các giá trị của k sao cho : {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} \leqslant 3.
  2. Giải hệ phương trình
    $\left\{ \begin{gathered} x + \sqrt {{x^2} + 1} = 2y + 1\quad (1) \hfill \\ y + \sqrt {{y^2} + 1} = 2x + 1\quad (2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Câu 3. (4,0 đ)

  1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình ${x^2}{y^2}\left( {x + y} \right) + x = 2 + y\left( {x - 1} \right)$
  2. Cho n \in {\mathbb{N}^*} . Chứng minh rằng nếu 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì n chia hết cho 40.

Câu 4. (6,0 đ)

Cho đường tròn (O, R)  và một điểm  cố định ở bên ngoài đường tròn,OA = 2R . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC  đến đường tròn (O) ( B, C  là các tiếp điểm). Đường thẳng  OA cắt dây  BC tại I. Gọi M  là điểm di động trên cung nhỏ BC. Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt AB ,AC   lần lượt ở E,F . Dây BC cắt OE, OF lần lượt tại các điểm P, Q .

  1. Chứng minh góc ABI = 60 độ và tứ giác OBEQ nội tiếp.
  2. Chứng minh EF = 2PQ
  3. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho tam giác OPQ có diện tích nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó theo R.

Câu 5. (2,0 đ)

Cho x,y,z  là các số thực dương thỏa mãn x + y – z + 1 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = \frac{{{x^3}{y^3}}}{{\left( {x + yz} \right)\left( {y + xz} \right){{\left( {z + xy} \right)}^2}}}

  ………… HẾT …………

Xem thêm: ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 9 TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2018-2019

 LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019

Câu 4:

a) Từ tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau,  suy ra được OI và BC vuông góc

=> hai góc ABI và BOI bằng nhau (vì cùng phụ với ).

\Rightarrow \cos \widehat {ABI} = \cos \widehat {BOI} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ABI} = \widehat {BOI} = {60^0}\quad (1)

Từ tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra OF, OE lần lượt là các tia phân giác của các góc COM và MOB. Suy ra:

\widehat {FOM} = \frac{{\widehat {COM}}}{2};\widehat {MOE} = \frac{{\widehat {MOB}}}{2} \Rightarrow \widehat {{\rm{EOF}}} = \widehat {FOM} + \widehat {MOE} = \frac{{\widehat {COM} + \widehat {MOB}}}{2} = \frac{{\widehat {BOC}}}{2} = \widehat {BOI}{\rm{ }}(2)

;Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Bạn nào có thắc mắc bài nào thì comment mình sẽ chia sẻ đáp án để các bạn tham khảo

Related Post

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *