ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 9 TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2018-2019

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2018-2019

 Câu 1. (3,0 điểm)

Cho biểu thức P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}} \right)

với x >= 0, y>= 0 và xy khác 1

  1. Rút gọn P.
  2. Tính giá trị của biểu thức P  khi  $x = \sqrt[3]{{4 - 2\sqrt 6 }} + \sqrt[3]{{4 + 2\sqrt 6 }}$ và  $y = {x^2} + 6$.

Câu 2. (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) : (m – 1)x + y = 3m – 4

và (d’) : x + (m – 1)y = m. Tìm  m để (d) cắt (d’) tại điểm M  sao cho \widehat {MOx} = {30^0}

Câu 3. (4,0 điểm)

  1. Giải phương trình: \sqrt {3x + 1} - \sqrt {6 - x} + 3{x^2} - 14x - 8 = 0.
  2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} {x^3} - 2{x^2} + 2x + 2y + {x^2}y - 4 = 0 \hfill \\ {x^2} - xy - 4x - 1 = \sqrt {3x - y + 7} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Câu 4. (2,0 điểm)

Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì $3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \geqslant 13$.

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác  ABC có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BE và AD Gọi  H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC.

  1. Chứng minh: nếu HG//BC thì tanB.tanC = 3
  2. Chứng minh: tanA.tanB.tanC =tanA + tanB + tanC.

Câu 6. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH , gọi I, J, K  lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH . Gọi giao điểm của các đường thẳng AJ, AK với cạnh BC lần lượt là E và F.

a) Chứng minh: I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

b) Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng nhau.

Câu 7. (2,0 điểm)

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x, y, z) sao cho \frac{{x + y\sqrt {2019} }}{{y + z\sqrt {2019} }} là số hữu tỉ và ${x^2} + {y^2} + {z^2}$ là số nguyên tố.

———– HẾT ————

Xem thêm: ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 9 TỈNH SƠN LA NĂM HỌC 2018-2019

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2018-2019­

Câu 6:

a) Gọi là trung điểm của BC, ta có tam giác ABD vuông tại D  nên tanB = AD/BD

Tương tự: tanC = AD/CD

=> tanB.tanC = AD^2/BD.CD.

Ta có các góc bằng nhau: BHD = EHA => góc HBD = HAE.

=> hai tam giác BDH và ADC đồng dạng => BD.CD = AD.DH => tanB.tanC  AD/DH.

Ta có HG//BC => AD/DH = AM/GM => tanB.tanC = 3.

b) Gọi S0, S1, S2, S3 lần lượt là diện tích các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB, ta có: tanB.tanC = AD/DH => 1/(tanB.tanC) = DH/AD = S1/S.

Chứng minh tương tự:

\Rightarrow \frac{1}{{\tan C \cdot \tan A}} = \frac{{{S_2}}}{S},\frac{1}{{\tan A \cdot \tan B}} = \frac{{{S_3}}}{S}

\Rightarrow \frac{1}{{\tan B \cdot \tan {\rm{C}}}} + \frac{1}{{\tan {\rm{C}} \cdot \tan A}} + \frac{1}{{\tan A\tan B}} = \frac{{{S_1} + {S_2} + {S_3}}}{S} = 1

\Rightarrow \frac{{\tan A + \tan B + \tan C}}{{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan {\rm{C}}}} = 1

Còn bài nào thắc mắc các bạn comment nào

Related Post

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *