Đề thi HSG toán Thừa Thiên Huế năm 2018 – 2019

Chia sẻ với các bạn Đề thi HSG toán Thừa Thiên Huế năm 2018 – 2019

Bài 1 (3,0 điểm)

a) Cho P = \left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt {{x^3}} - 1}}{{1 - x}}} \right):\frac{{{{(\sqrt x - 1)}^2} + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 1} \right)

Rút gọn P và chứng minh P > 1 .

b) Không dùng máy tính chứng minh đẳng thức \sqrt[3]{{\sqrt[3]{2} - 1}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{9}}} - \sqrt[3]{{\frac{2}{9}}} + \sqrt[3]{{\frac{4}{9}}}.

Bài 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình \sqrt {3x + 8 + 6\sqrt {3x - 1} } + \sqrt {3x + 8 - 6\sqrt {3x - 1} } = 3x + 4.

b) Tìm a,b,c biết: a = \frac{{2{b^2}}}{{1 + {b^2}}};\,\,b = \frac{{2{c^2}}}{{1 + {c^2}}};\,\,c = \frac{{2{a^2}}}{{1 + {a^2}}}

Bài 3 (2,0 điểm)

Để liên hoan cuối năm,lớp 9A đã mua 22 gói kẹo gồm 3 loại :chuối ,chocola và dừa hết 445000đ. Biết 4 gói kẹo chuối giá 11000đ; 3 gói kẹo chocola giá 50000đ và mỗi gói kẹo dừa giá 15000đ. Hỏi lớp 9A đã mua bao nhiêu gói kẹo mỗi loại?

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác  vuông tại A, đường cao AH.

a) Biết HC – HA = 4cm, \tan \widehat {ACB} = \frac{3}{4}. Tính độ dài AB,AC.

Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC; M là trung điểm của BC. Chứng EF vuông góc với AM.

c) Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh 2S = \frac{{A{H^4}}}{{HE.HF}}.

—- Hết —

Bạn nào đang luyện thi HSG cấp tỉnh thì đừng bỏ qua Đề luyện thi HSG toán 9 năm học 2019 – 2020

Hướng dẫn giải Đề thi HSG toán Thừa Thiên Huế năm 2018 – 2019

Bài 3:

Gọi x, y, z, lần lượt là số gói kẹo chocola, kẹo chuối và kẹo dừa lớp 9A đã mua (gói, 0< x, y, z <22, nguyên)

Theo đề ta có : \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + z = 22\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\ {\frac{y}{4}.110000 + \frac{x}{3}.50000 + 15000z = 445000} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {20x + 20y + 20z = 440(1)}\\ {20x + 33y + 15z = 534(2)} \end{array}} \right.

Trừ (2) cho (1) theo vế với vế ta được : 13y - 2z = 94 \Leftrightarrow z = \frac{{13y - 94}}{2}

Vì  0 < z < 22 nên 0 < \frac{{13y - 94}}{2} < 22 \Leftrightarrow 7 < y < 11 mà y nguyên suy ra y \in \left\{ {8,9,10} \right\}

Chỉ có y = 8 thì tìm được x = 9, z = 5

Vậy lớp 9A mua được 9 gói kẹo chocola, 8 gói kẹo chuối, 5 gói kẹo dừa.

Bài 4:

a) Tính AB, AC

Tam giác AHC vuông tại H nên  tanC = 3/4 = AH/CH

Suy ra  CH/4 = AH/3 = (CH – AH)/(4-3) = 4. Do đó AH = 12cm và CH = 16cm

Tam giác AHC vuông tại H nên theo định lý Py-ta-go ta tính được AC = 20cm.

Tam giác ABC vuông tại A nên  \tan \widehat {ACB} = \frac{3}{4} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = \frac{{3AC}}{4} = 15

b) Chứng minh EF ⊥ AM.

Tứ giác AEHF có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Suy ra \widehat {{A_1}} = \widehat {{E_1}} (1)

Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM = MB suy ra tam giác AMB cân tại M suy ra góc MAB = góc B (2)

Tam giác AHB vuông tại H nên góc A1 và B phụ nhau (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra suy ra góc MAB và góc E1 phụ nhau suy ra EF ⊥ AM.

c) Chứng minh 2S = \frac{{A{H^4}}}{{HE.HF}}.

Vì AEHF là hình chữ nhật nên AE = HF và AF = HE

Áp dụng hệ thức giữa cạch và đường cao ta có:

 

Related Post

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *